Rentestrukturen

Afkast, kurver og prisfastsættelse

Niklas Lehmann Jensen

Introduktion

Læringsmål

  • Forstå hvad rentestrukturen (yield curve) er, og hvorfor den er central for prisfastsættelse
  • Skelne horisontal vs. vertikal rentestruktur og tolke kurvens form
  • Forklare hvorfor effektiv rente (YTM) er et begrænset afkastmål
  • Bruge nulkuponrenter/discountfaktorer til at prisfastsætte cashflows (bootstrapping-intuition)
  • Kende hovedforklaringer: forventningshypotesen, løbetids-/likviditetspræmie, segmentering
  • Forstå principper for estimation af en glat rentestruktur og sammenholde med markedspriser

Teorien bag rentestrukturen

Hvad er rentestrukturen?

  • En kurve over risikofri (eller næsten risikofri) renter for forskellige løbetider
  • Bruges til diskontering af en betalingsstrøm:
    \[ P = \sum_{t=1}^{N} \frac{CF_t}{(1 + r_t)^t} \;=\; \sum_{t=1}^{N} CF_t \cdot d(t) \] hvor \(r_t\) er nulkuponrenten og \(d(t)\) diskonteringsfaktoren
  • Giver både afkastmål (spot/forward/par) og risikomål (reaktion på kurvebevægelser)

Horisontal vs. vertikal rentestruktur

  • Horisontal: samme instrumenttype (fx statsobligationer), varierende løbetid → klassisk yield curve
  • Vertikal: samme løbetid, varierende egenskaber (kupon, likviditet, kredit, skat) → forklare spreads
  • Begge perspektiver bruges i praksis, men til forskellige spørgsmål
Horisontal og vertikal rentestruktur

Den effektive rente (YTM) – et problematisk afkastmål

Hvorfor er YTM utilstrækkelig?

  • Gennemsnitlig intern rente på hele cashflowet – blander korte og lange renter
  • Antager reinvestering af kuponer til samme rente → sjældent realistisk
  • To obligationer kan have samme YTM, men meget forskellig kurvefølsomhed
  • Løsning: arbejd periode for periode med nulkuponrenter og discountfaktorer

Pris som sum af diskonterede betalinger

  • Med YTM \(r\) (for overskuelighed) skrives:
    \[ K = \sum_{t=1}^{N} \frac{Y(t)}{(1+r)^t} \]
  • Bedre i praksis: brug rentestrukturen
    \[ K \;=\; \sum_{t=1}^{N} \frac{Y(t)}{(1+z_t)^t} \;=\; \sum_{t=1}^{N} Y(t)\cdot d(t) \]
  • Hermed matcher hver betaling sin egen relevante termrente

Bootstrapping-intuition via markedseksempel

Obligationsmarked (stående lån)

Løbetid Kupon Kurs Eff. rente
1 år 5% 100,96 4,00%
2 år 6% 101,91 4,97%
3 år 7% 102,92 5,91%
  • 1Y er også en nulkupon: \(100{,}96 = 105/(1+n_1)\)\(n_1=4{,}00\%\).
  • 2Y: \(101{,}91 = 6/(1{+}0{,}04) + 106/(1{+}n_2)^2\)\(n_2\approx 5{,}00\%\).
  • 3Y: \(102{,}92 = 7/(1{+}0{,}04) + 7/(1{+}0{,}05)^2 + 107/(1{+}n_3)^3\)\(n_3\approx 6{,}00\%\).

Diskonteringsfaktorer (fra nulkuponrenter)

  • Generelt: \(d_t=\dfrac{1}{(1+n_t)^t}\).
  • Med \(n_1{=}4\%\), \(n_2{=}5\%\), \(n_3{=}6\%\):
    \(d_1=0{,}9615,\; d_2=0{,}9070,\; d_3=0{,}8396\).

Definition: YTM vs. nulkuponrente

Effektiv rente (YTM): ens for alle betalinger i den samme obligation.
Nulkuponrente: ens for alle betalinger der forfalder på samme tidspunkt – uanset obligation.

Rentekurven og obligationsarbitrage

Kuponobligation = portefølje af nulkuponer

  • En kuponobligations cashflow kan gengskabes 1:1 med nulkuponer i de samme tidspunkter
  • Derfor skal prisen være lig prisen på den tilsvarende nulkupon-portefølje
  • Ellers opstår arbitrage (sælg den dyre/køb den billige)
Kuponobligation som portefølje af nulkuponer

Forklaringer på rentestrukturens form

Typiske former

  • Stigende/stejl: højere lange renter end korte (vækst/normalisering)
  • Flad: små renteforskelle (usikkerhed/overgang)
  • Inverteret: korte renter > lange (stram pengepolitik/recessionsfrygt)
Tre typiske forløb for rentekurven

Forventningshypotesen (EH)

  • Lange renter ≈ forventet gennemsnit af fremtidige korte renter
  • Intuition: investor er neutral over for løbetid → kun forventninger driver kurven
  • Begrænsning: matcher ofte niveau/slope dårligere i praksis uden præmier
Rentekurvens forløb efter forventningshypotesen

Løbetids-/likviditetspræmie (TP)

  • Investorer kræver typisk ekstra præmie for at binde kapital længere og bære kurserisiko/likviditet
  • Lange renter = forventet kort rente + løbetidspræmie (stigende med løbetid)
  • Hjælper med at forklare vedvarende positiv hældning
Rentestruktur og løbetidspræmie

Markedssegmentering

  • Forskellige investorer har præferencer/mandater for bestemte løbetider
  • Efterspørgsel/udbud i adskilte segmenter → dele af kurven kan bevæge sig uafhængigt
  • Fx banker (korte), pensionskasser (lange) → lokale niveauer og slopes
Rentestrukturens segmentering

Estimation af rentestrukturen

Mål: En glat og arbitragefri kurve

  • Data: observationer af priser/renterlikvide papirer (oftest statsobligationer)
  • Krav: ingen arbitrage, glat forløb, god fit til markedet
  • Metoder (intuition): bootstrapping (fra korte til lange), splines, parametriske (fx NSS)
  • Output: diskonteringsfunktion \(d(t)\) og nulkuponrenter \(z_t\)

Teoretisk kurve vs. markedspriser

  • Modeller approksimerer markedet; små afvigelser er normale
  • Store systematiske afvigelser → dataproblem, modelvalg eller illikviditet
Beregnet rentestruktur og markedspriser

Definition (glat rentestruktur)

  • En robust rentestruktur bygger på finansiel logik (ingen arbitrage)
  • Interpolation skal sikre glathed mellem datapunkter (ingen “hak”)
  • Kurven bruges konsistent til både pris og risikomål på tværs af løbetider

Prisfastsættelse ud fra rentestrukturen

Standardopskrift

  1. Find relevante nulkuponrenter \(z_t\) (eller \(d(t)\)) for alle betalingsdatoer
  2. Diskontér hver betaling: \(PV_t = CF_t \cdot d(t)\)
  3. Læg sammen: \(P = \sum PV_t\)
  4. Man kan herfra udlede YTM på obligationen fra prisen – men pris kommer fra kurven

Teoretisk pris vs. markedspris (formler)

  • Teoretisk (nulkupon):
    \[ K^{*} + v \;=\; \sum_{t=1}^{N} \frac{y_t}{(1 + n_t)^{t}} \]
  • Markedspris (YTM):
    \[ K + v \;=\; \sum_{t=1}^{N} \frac{y_t}{(1 + r)^{t}} \]
  • \(n_t\): nulkuponrente for termin \(t\); \(r\): effektiv rente anvendt på hele CF’et.

Nettonutidsværdi (NNV) og mispricing

  • NNV = \(K^{*} - K\).
  • Tolkning:
    • \(K^{*}-K > 0\)undervurderet (teoretisk > marked).
    • \(K^{*}-K < 0\)overvurderet (teoretisk < marked).
  • Bruges til at spotte afvigelser vs. “kurve-konsistente” priser.

Eksempel: DK0009924961 (2,25% 2035)

Nedenfor NV via nulkuponkurven (afrundet):

Termin t Y% z% NV
15-11-2025 0,77 2,25 2,24 2,21
15-11-2026 1,77 2,25 2,03 2,16
15-11-2027 2,77 2,25 2,04 2,12
15-11-2028 3,77 2,25 2,14 2,07
15-11-2029 4,77 2,25 2,25 2,02
15-11-2030 5,77 2,25 2,35 1,98
15-11-2031 6,77 2,25 2,44 1,94
15-11-2032 7,78 2,25 2,52 1,89
15-11-2033 8,78 2,25 2,60 1,85
15-11-2034 9,78 2,25 2,67 1,81
15-11-2035 10,78 102,25 2,72 80,58
Total 100,64

Konklusion: \(K^{*}=100{,}64\), \(K=100{,}63\)NNV = 0,01 → let undervurderet.

Tolkning og risici

Prisfølsomhed under forskellige kurver (eksempel)

Vi prissætter en 4% kuponobligation (H=1000) under to rentestrukturer (årlig):

År Lav rente (%) Høj rente (%) CF (kr.) PV lav PV høj
1 1,5 4,0 40 39,4 38,5
2 1,8 4,5 40 38,6 36,6
3 2,1 5,0 40 37,6 34,6
4 2,4 5,5 40 36,4 32,3
5 2,7 6,0 40 35,0 29,9
6 3,0 6,5 40 33,5 27,4
7 3,3 7,0 40 31,9 24,9
8 3,6 7,5 1040 783,7 583,1

Resultat: Kurs (lav) ≈ 103,61 ; Kurs (høj) ≈ 80,73.
Højere kurver → hårdere diskontering → lavere pris.

Kurvebevægelser og prisfølsomhed

  • Parallelle skift: alle \(z_t\) flytter sig ≈ simpel varighedsrespons
  • Stejling/udfladning: korte vs. lange renter flytter forskelligt
  • Kurvatur: midten bevæger sig relativt til enderne
  • Derfor: risikomål bør relatere til kurvescenarier, ikke kun én YTM. Men vi skal se, at i praksis tager man begge i brug.

Øvelser

Bond pricing med diskret rentes rente

Årlig spotrente med halvårlig tilskrivning

Måneder Spotrente (%)
6 4.0
12 4.2
18 4.4
24 4.6
30 4.8

Obligation
- Hovedstol: 100
- Løbetid: 30 mdr.
- Kupon: 4% p.a., halvårlig

Spørgsmål 1) Udregn diskonteringsfaktorerne for hver periode (6, 12, 18, 24, 30 mdr.).
2) Udregn obligationens pris (nutidsværdi af alle cashflows).

Facit

Lad os se i Excel

Brugen af rentestruktur

Data (årlig konvention)
Nulkuponrenter: \(y_1 = 1{,}00\%\), \(y_2 = 2{,}01\%\)

Type Løbetid Kupon Yield Handlet kurs
Stående 1 år 2% 1% 100,99
Stående 2 år 2% 2% 100,00
Serie 2 år 2% 2% 100,00

Spørgsmål
1) Udregn den teoretiske pris for hver obligation ud fra zero-kuponrenterne.
2) Hvilke obligationer er billige/dyre relativt til den teoretiske pris?

Facit

Nulkuponrenter: \(d_1=1{,}00\%\), \(d_2=2{,}01\%\). Årlig diskontering.

1) Teoretiske priser

  • Bullet 1Y (kupon 2%)
    \(P = \dfrac{102}{1+0{,}01} = \mathbf{100{,}99}\)

  • Bullet 2Y (kupon 2%)
    \(P = \dfrac{2}{1+0{,}0100} + \dfrac{102}{(1+0{,}0201)^2} \approx \mathbf{100{,}00}\)

  • Serielån 2Y (2% på restgæld, afdrag 50/50)
    \(P = \dfrac{52}{1+0{,}0100} + \dfrac{51}{(1+0{,}0201)^2} \approx \mathbf{100{,}50}\)

Opsummering

Takeaways

  • Rentestrukturen er fundamentet for pris og risiko i renteprodukter
  • YTM er praktisk, men misvisende: brug nulkuponrenter/discountfaktorer
  • Kurvens form afspejler forventninger, præmier og segmentering
  • En glat, arbitragefri kurve muliggør konsistent prisfastsættelse
  • Tænk i kurvebevægelser (parallel, steepen/flatten, kurvatur) for risiko og scenarier